Spira mirabilis - hárfa és matematika

Vígh Andrea hárfaművészt, a Liszt Ferenc Zeneakadémia tanárát kérdezték egyszer, hogy milyen hangszer is a hárfa. Ő pedig azt válaszolta, hogy a legszebbeket a 18. században készítették. Nos, Nadermann, Holtzmann vagy Cousineau rokokó hangszerei valóban csodálatos alkotások, valóságos ékszerek. Ritkán gondolunk ugyanakkor bele, hogy miért is szeretjük ezeket a formákat és díszítéseket. A tudomány vagy a modern, absztrakt képzőművészet eredményeire pedig még kevesebbszer gondolunk...


Rokokó

A 18. században készített egyszeres mechanikájú hangszerek szerkezeti szempontból már nagyban hasonlítanak a mai modern hárfákra. Ebben az időben terjedt el a pedál használata, úgyhogy a régi és a mai hárfák közötti különbség leginkább csak a húrok számában és a hangoló-mechanizmus bonyolultságában van. Napjaink koncerthárfái 47 húrosak, a régiek ennél kisebbek, harmincegynéhány húrosak. És persze az új hárfák teljesen, a korábbiak meg csak félig kromatikus hangolásúak.

A rokokó a barokk folytatása volt, amennyiben annak szigorát, nehézkességét és drámaiságát kívánta ellensúlyozni. A barokknál ezért könnyedebb és díszesebb stílus, szeszélyes és szabálytalan vonalak jellemzik. A nagy földrajzi felfedezések utáni gazdasági fellendülés nyomán alakult ki, s az arisztokrácia könnyed életvitelét, kényelemre és luxusra való igényét, a társasági élet kifinomultságát, a szalonok nőies báját és nagyvilági modorát hangsúlyozta. A rokokó idején készített hárfák ennek megfelelően dúsan faragottak és aranyozottak, és egyik alapvető jellemzőjük a csigavonalban futó növényi mintákkal díszített fej.

A világ legdrágább kereskedelmi forgalomban kapható
hárfája: Louis XV Special Concert Grand az amerikai
Lyon and Healy-től. Ára 179 000 dollár

Ha a stílus történelmi és társadalmi hátterét nézzük, akkor bizony nem igazán lehetünk büszkék az ízlésünkre, ami kizárólag a szépséget látja a korszak alkotásaiban. Merthogy ekkoriban is megvolt a társadalmakat jellemző alá-fölérendeltség, méghozzá fokozott mértékben. A francia királyi udvar és nemesség pazarló életmódja az egyik oldalon, a kispolgárok, parasztok és gyarmatok megsarcolása a másikon – mindez a feudális abszolutizmus önkényével és kegyetlenkedéseivel „megkoronázva”…

Nem csoda, hogy a folyamat a század végétől forrongásokba és forradalmakba csapott nemcsak Franciaországban, de egész Európa szerte. Nálunk például a Martinovics vezette jakobinus mozgalomba, ami ha politikai hatását tekintve nem is volt jelentős, de kultúránkra és szabadságvágyunkra kétségtelenül hatott. Jellemző egyébként, hogy a rokokó hárfák nagy rajongója, számos ilyennek a tulajdonosa és értő használója, Mária Antónia 1793-ban a vérpadon fejezte be az életét.

Charles Thévenin (1764–1838):
A Bastille kormányzójának letartóztatása
1790-1794
Olaj, vászon
Musée Carnavalet
Párizs

Kérdés ezek után, hogy a zsarnokoskodás, hatalmaskodás, önkény és kizsákmányolás ellenére miért szeretjük mégis a rokokót?

Szépség és arányosság

Először is, annyit halljuk, hogy Hochdrucher a pedálhárfát tiroli parasztok ötlete alapján fejlesztette ki, hogy amikor meglátunk egy korabeli díszes hangszert, könnyen gondolhatjuk azt, hogy nyilván az alacsonyabb sorban élők is ilyeneken játszottak naphosszat. Ennél valamivel komolyabb magyarázat, hogy a társadalmi és az egyéni tudat hajlamos a rosszat elfelejteni s csak a jóra emlékezni. Ez helyes, amennyiben így védekezünk a kellemetlen gondolataink és érzéseink ellen.

Végül van egy mélyebb, pszichológiai magyarázat is, amelyet mint képességet szinte a génjeinkben hordozunk, és ami az arányossággal kapcsolatos. A hárfa nemcsak hangszer, hanem műalkotás és egyben mérnöki alkotás is. A konstrukciója, a hangzása és a díszítése alárendelt bizonyos művészi és mérnöki szabályoknak, köztük matematikaiaknak is. Ha nem így volna, nem találnánk szépnek a hárfát, hamisan szólna, vagy a szerkezete összeroppanna a húrok egy tonnás, roppant feszítő ereje alatt.

Leonardo da Vinci (1452–1519):
Az Arányos Ember
1492
Tinta, papír
34,3 x 24,5 cm
Gallerie dell'Accademia
Venice

Az közismert, hogy a szépség egyik előfeltétele az arányosság, mert bizonyos arányokat harmonikusnak és megnyugtatónak érzékelünk. Erről a kérdésről szól Leonardo da Vinci híres Vitruvius-tanulmánya, amelyben az emberi test méretarányait írta le és elemezte. Írásában kimutatta, hogy testünk arányai nem véletlenszerűek, hanem szabályosságot követnek.

Egyébként már maga Vitruvius, az i. e. I. században élt építész is úgy tartotta, hogy a művész által megalkotott szabályok ösztönösen az emberi test harmóniáját követik, és hogy ezek a szabályok az elme számára felfoghatók. Mai szóval élve tehát matematikai eszközökkel leírhatók.

Aranymetszés

Egy ilyen harmóniát sugárzó arányrendszer az aranymetszés vagy más néven az aranyarány. Ez akkor jön létre két rész, (a) és (b) között, ha az egész (a+b) úgy aránylik a nagyobb részhez (a), ahogy a nagyobbik (a) a kisebbikhez (b). Ezt mutatja a következő ábra:

Az aranyarányt az 1,618 szám fejezi ki numerikusan. Ha (b)-t megszorozzuk ezzel a számmal, akkor közelítőleg (a)-t fogjuk megkapni. Ha pedig (a)-t szorozzuk meg vele, akkor az (a+b) értéket.

Van Doesburg (1883—1931):
Kompozíció szürkében (Rag-time)
1919
Olaj, vászon
96,5 x 59,1 cm
Guggenheim Múzeum
Velence

Az aranyarány évszázadokon át elengedhetetlen volt az építészetben, a képzőművészetben, a zenében és a költészetben. De a sokszor szabálytalanságot kereső modern művészet is él vele, egy igazán különleges példa rá Kassák Lajos csodálatos lírájú, A ló meghal című szabadverse.

Fibonacci

Egy másik nevezetes arányrendszer a Fibonacci-számsor, amelynek már a felfedezése és első leírása is a művészethez, pontosabban az irodalomhoz kötődik.

A számsorban az első kettő a 0 és az 1. A sor többi elemét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az előző kettőt, pl. 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5 stb.

A számsor első néhány tagja a következő: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765.

Érdekes módon a sorban felbukkan az aranyarány is. Ha pl. 1597-et megszorzunk 1,618-al, akkor eredményül 2583,946-ot kapunk. Mivel ez csak néhány századdal tér el a számsorban szereplő 2584-től, kimondhatjuk, hogy a sor bizonyos tagjai között aranyarány is fennáll.

A számsor egy középkori olasz matematikusról, Leonardo Fibonacci-ról kapta a nevét. Európában 1202-ben ő írta le először, a nyulak szaporodását vizsgálva. Ezt azért fontos megemlíteni, mert rávilágít, hogy nemcsak az emberi elme absztrakciójáról és játékosságáról van itt szó, de a természetben is előforduló jelenségről is.

Történelmi adatok szerint egyébként a számsort nem Fibonacci, hanem két indiai matematikus, Gopala és Hemacsandra fedezte fel 1150-ben. Azt az irodalmi kérdést vizsgálták, hogy hányféleképpen lehet rövid és hosszú szótagokkal kitölteni egy adott időtartamot. Nálunk a zenében Lendvai Ernő zenetudós mutatta ki, hogy Bartók Béla a zenei gondolatok ütemsorrendjét ösztönösen a Fibonacci-számok szerint tagolta egyes szerzeményeiben. Ez pedig azért egy fontos példa, mert arra ad bizonyítékot, hogy az ember önkéntelenül is ráérez a szabályosság szépségére – mert azt ugye senki sem gondolja, hogy Bartók szorzótáblával komponált?

Logaritmikus spirál

A rokokó korának az előzőkhöz hasonló nagy „találmánya” a logaritmikus spirál volt, latin nevén a Spira mirabilis. A körbefutó, tekeredő vonalakban szintén visszatükröződik egy arányrendszer, amelynek egyszerűbb változatait már az ókorban is felhasználták az építő- és díszítőművészetben.

A Spira mirabilist Descartes írta le először és a kortárs Jakob Bernoulli vizsgálta behatóan. Bernoulli a spirál legfontosabb tulajdonságának azt tartotta, hogy kicsinyítés vagy nagyítás hatására nem változik, vagyis független a léptékváltozásoktól. Elvileg tehát végtelen mértékben nagyíthatjuk vagy kicsinyíthetjük, mindig hasonló képet kapunk. A fenti ábrán sem látjuk, hogy a koordináta milyen beosztású, bármilyen osztást odaképzelhetünk. Ez viszont egy nagyon fontos mozzanat. A „csodálatos spirál”-t ugyanis e tulajdonsága az 1980-as években felfedezett fraktálokhoz teszi hasonlatossá.

A Messier 51 spirálgalaxis (más néven Örvény-galaxis)

Ami a logaritmikus spirálban igazán lenyűgöző, az az, hogy nem csak a geometriai absztrakció, tehát az elvont emberi értelem köszön vissza belőle. Igazi csoda, hogy a természetben is gyakran előfordul, akárcsak az említett aranyarány, a Fibonacci-spirálok vagy a fraktálok. Ezt a mintát követi bizonyos galaxisoknak a szerkezete, a ciklonoknak és anticiklonoknak a struktúrája, egyes kagylók mintázata, vagy az a rajzolat, amit a napraforgó tányérjában ülő magok mutatnak.

A logaritmikus sprirált létrehozó egyenletek ismertetését itt és most mellőznénk. Azt viszont feltétlenül meg kell említeni, hogy nem véletlenül a rokokó korában tűnik fel és lesz divatossá. Ekkoriban indult meg a modern tudományos vizsgálódás, és Európába számtalan fosszília került a gyarmatokról. A tudomány sokat köszönhet ezeknek a leleteknek, többek között ősi növényeknek és kagylóknak, Carl von Linnét például elvezették az élőlények hierachikus rendszertanához.

A spirált és a fraktálokat egy magyar, Erdély Dániel grafikusművész fejlesztette tovább egy bizonyos irányban. Ő ún. spidronokat alkot. Úttörőjellegű, kimagasló munkáját jól jelzi az a tény, hogy a spidron 2006-ban felkerült a Scientific News címlapjára, illetve, hogy tevékenységét a magyar állam A Magyar Köztársasági Érdemrend lovagkeresztje kitüntetéssel ismerte el.

Erdély azóta sem állt meg a kutatásban, olyannyira, hogy épp napjainkban ér el fantasztikus, korábban sokak által lehetetlennek tartott eredményeket:

(Az animáció Erdős János közreműködésével készült)

De szintén jelentős eredményeket tudhat magának Saxon-Szász János festőművész is. Ő különféle arányrendszereket használ a műveiben úgy, hogy az arányosság nem csak a geometriai formákban, hanem a kompozíciókban alkalmazott színekben is tükröződik.

Saxon-Szász János:
Rota-Rota négyzet
2002
Olaj, fa
84 × 104 cm

Saxon-Szász ugyanakkor nemcsak bonyolult matematikai képleteket, de nagyon egyszerű arányokat is használ (pl. 1:2, 1:3), akárcsak a hárfaépítők. Utóbbi kérdésről Beat Wolf beszélt nekünk egy interjú során.

Ma divat szidni a modern képzőművészetet. Pedig ebben is ott van a szépség, s egyszerre ünnepli a történelem során felhalmozott tudást, a csillagrendszerekben és az apró élőlényekben egyformán meglévő közös tulajdonságokat, vagy azt, hogy az emberi elme képes mindezt felfogni és reprodukálni.

A Csónakos.
Holtzmann-hárfa az MTA Zenetörténeti Múzeumában

S végül még egy idevágó dolog. Ha megnézzük a korabeli rokokó hárfákat, láthatjuk, hogy a hárfakészítők nemcsak a Spira miribilist, hanem ennél egyszerűbb, már az ókorban is ismert spirálokat is használtak. Ez elvileg jelentheti azt, hogy tudatosan visszautaltak a klasszikus korra, ahogy A Csónakos nevű Holtzmann-hárfa némely díszítő eleménél is tapasztalható. A törekvés egyébként az évszázad végére a klasszicizmus kialakulásához vezetett. De jelentheti azt is, hogy különösebb természettudományos vagy művészettörténeti műveltség nélkül, szinte öntudatlanul használták őket, egyszerűen csak szépnek tartva a divatos spirális rajzolatot. Akárhogy is, a mi szempontunkból az a lényeg, hogy a növényi faragások kialakítása számításokat és geometriai szerkesztést igényelt, tehát még a hárfa díszítése is a matematikával kapcsolatos.

Mechanikus materializmus

Hiba lenne ugyanakkor azt gondolni, hogy az arányrendszerekben rejlő szépséget pusztán az adja, hogy matematikai módszerekkel leírhatók. Ha így járnánk el, ugyanabba a tévedésbe esnénk, mint Descartes. Ő úgy gondolta, hogy a természetben mindent a fizika és matematika törvényei uralnak és határoznak meg, magyarán minden ezeknek a törvényszerűségeknek alávetve létezik. Komolyan hitte például, hogy egy ló nem más, mint egy egyenletekbe foglalható bonyolult mechanikus szerkezet, s csak idő kérdése, hogy a tudomány felfedezze ezeket.

Mentségére legyen mondva, hogy a mai tudósok legtöbbjével ellentétben az ember számára azért ő még fenntartotta az isten által teremtett, halhatatlan lelket...

Ember és hárfa

Bábel Klára hárfás nemrégiben arról beszélt nekünk, hogy mennyire szereti a matematikát, és hogy sok matematikus is tehetséget mutat a zenében. Fentebb leírtuk, hogy a hárfa és a matematika kapcsolata mennyire sokrétű, kezdve a műszaki szerkezettől egészen a hangszer díszítéséig. Rámutattunk arra is, hogy milyen fontos a szerepe mindebben az arányoknak. Ez az oka, hogy a hárfának szép a hangja, s maga a hangszer is, amely harmonikus arányaival letaglózza a szemlélőt.

Záráskénként egy dologról kell még szólni. A hárfa hangjához és látványához természetesen hozzátartozik maga a hárfás is, azaz az emberi test a gyönyörű, aranyarányt követő formájával…

Dante Gabriel Rossetti (1828–1882):
La Ghirlandata
1871-1874
Olaj, vászon
87,6 x 115,6 cm
Guildhall Art Gallery
London